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Graphischer Beweis
Trigonometrische Additionstheoreme

sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + sin(y) * cos(x)
cos(x+y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)
Die Zeichnung
Die blau und rot bezeichneten Winkel ergeben sich aus geometrischen Überlegungen aus den schwarz angegebenen Werten.

Aus der Zeichnung leicht ersichtlich:

oa= 1
ac = sin(y)
oc = cos(y)

ab = sin(x+y)
ob = cos(x+y)

Etwas schieriger einsichtig:

1. ec = sin(x) * sin(y)
2. od = cos(x) * cos(y)
3. ea = cos(x) * sin(y)
4. dc = sin(x) * cos(y)

So kommt man auf 1. bis 4.:

zu 1.) sin(x) = ec_ac <=> ec = sin(x) * ac = sin(x) * sin(y)

zu 2.) cos(x) = od_oc <=> od = cos(x) * oc = cos(x) * cos(y)

zu 3.) cos(x) = ea_ac <=> ea = cos(x) * ac = cos(x) * sin(y)

zu 4.) sin(x) = dc_oc <=> dc = sin(x) * oc = sin(x) * cos(y)


Offennbar gilt:
ab = dc + ea
Was
        sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + sin(y) * cos(x)
entspricht.

ob = od - ec
Was
        cos(x+y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)
entspricht.
Ich finde diesen Beweis der Additionstheoreme sehr schön.
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Stand: 16.05.2008 (Inhaltlich: 28.11.2006)         Brief an Folke:(Folke_R@gmx.de)
Link zu dieser Seite:

Sie haben eine Internetseite und finden meine Seite gut? Dann wäre es nett, wenn Sie einen Link zu meiner hinzufügen.
(währe schön wenn der Linktext 'Folke' 'Rinneberg' und das Thema der Seite beinhalten würden. z.B. 'Webseite mit grphischem Beweis zweier trigonometrischer Additionstheoreme von Folke Rinneberg')

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Graphical prove
trigonometric addition theorem

sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + sin(y) * cos(x)
cos(x+y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)
drawing of the construction
The values of the angels marked in blue and red surrender by geometric thoughts from the values of the black marked values. .

Quite simple to see from the drawing:

oa= 1
ac = sin(y)
oc = cos(y)

ab = sin(x+y)
ob = cos(x+y)

A little more difficult to see:

1. ec = sin(x) * sin(y)
2. od = cos(x) * cos(y)
3. ea = cos(x) * sin(y)
4. dc = sin(x) * cos(y)

Explanation why 1. bis 4. are true:

about 1.) sin(x) = ec_ac <=> ec = sin(x) * ac = sin(x) * sin(y)

about 2.) cos(x) = od_oc <=> od = cos(x) * oc = cos(x) * cos(y)

about 3.) cos(x) = ea_ac <=> ea = cos(x) * ac = cos(x) * sin(y)

about 4.) sin(x) = dc_oc <=> dc = sin(x) * oc = sin(x) * cos(y)


Easy to see:
ab = dc + ea
What is equal to:
        sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + sin(y) * cos(x)

ob = od - ec
What is equal to:
        cos(x+y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)
When I first saw this prove, I thought:
What a nice kind of prove for these addition theorems.
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last updated: 16.05.2008 (content: 28.11.2006)         e-mail to Folke:(Folke_R@gmx.de)
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